Рейтинг@Mail.ru






Яндекс.Метрика
 





ОГЛАВЛЕНИЕ

 

1.Теория множеств. Отношения. Функции

Логические операции. Таблицы истинности. Основные понятия теории множеств. Декартово произведение. Отношения. Типы отношений порядка. Лемма Цорна. Функции. Обратные функции. Конечные и счетные множества.

2. Уравнения. Функции одной переменной. Комплексные числа

Корни квадратного и кубического уравнений. Формулы Кардано. Многочлены. Правило знаков Декарта. Классификация конических сечений и их графики. Свой­ства функций. Асимптоты. Метод приближения Ньютона. Касательная и нормаль. Степень, экспонента и логарифм. Тригонометрические и гиперболические функ­ции. Комплексные числа. Формула Муавра. Формулы Эйлера. Корни степени п.

3. Пределы. Непрерывность. Дифференцирование (по одной переменной)

Пределы. Непрерывность. Равномерная непрерывность. Теорема о промежуточном значении. Дифференцируемые функции. Производные элементарных функций. Те­оремы о среднем значении. Правило Лопиталя. Дифференциал.

4. Частные производные

Частные производные. Теорема Янга. Функции класса гладкости Сk. Цепное пра­вило. Дифференциал. Наклон линии уровня. Теорема о неявной функции. Однород­ные функции. Теорема Эйлера. Гомотетичные функции. Градиент и производная по направлению. Касательная гиперплоскость.

5. Эластичность. Эластичности замены

Определение. Правило Маршалла. Свойства эластичности. Эластичность по направ­лению. Предельная норма замены. Эластичность замены.

6. Системы уравнений

Общий вид системы уравнений. Матрица частных производных. Обобщенная теоре­ма о неявной функции. Степени свободы. Функциональная зависимость. Якобиан. Теорема об обратной функции. Существование локальной и глобальной обратных функций. Теоремы Гейла-Никайдо. Теорема о сжимающем отображении. Теоремы Брауэра и Какутани о неподвижной точке. Полурешетки в Rn. Теорема Тарски о неподвижной точке. Основные случаи разрешимости системы линейных уравне­ний.

7. Неравенства

Неравенства треугольника. Неравенства между средними — арифметическим, гео­метрическим и гармоническим. Неравенства Гёльдера, Коши-Шварца, Чебышева, Минковского и Иенсена.

8. Ряды. Формула Тейлора

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Сходимость бесконечного ряда. Признаки сходимости. Приближения первого и второго порядка. Формулы Маклорена и Тейлора. Разложение функции в ряд. Биномиальные коэффициенты. Би­номиальная формула Ньютона. Полиномиальная формула. Формулы суммирова­ния. Константа Эйлера.

9. Интегрирование

Неопределенный интеграл. Интегрирование элементарных функций. Определен­ный интеграл. Сходимость интегралов. Сравнительный признак сходимости. Фор­мула Лейбница. Гамма-функция. Формула Стирлинга. Бета-функция. Формула трапеций. Формула Симпсона. Кратные интегралы.

10. Разностные уравнения

Решение линейных уравнений первого, второго и высших порядков. Устойчивость. Теорема Шура. Матричные формулировки.

11. Дифференциальные уравнения

Уравнение с разделяющимися переменными, однородное и логистическое. Линей­ные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и Риккати. Уравнение в полных дифференциалах. Линейные уравнения порядка п. Метод вариации по­стоянных. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение Эйлера. Линейное уравнение порядка n с постоянными коэффициен­тами. Устойчивость линейного уравнения. Условия устойчивости Рауса-Гурвица. Нормальные системы. Линейные системы. Матричные формулировки. Резольвен­та. Локальные и глобальные теоремы существования и единственности решения. Автономная система. Положения равновесия. Интегральные кривые. Локальная и глобальная (асимптотическая) устойчивость. Периодические решения. Теорема Пуанкаре-Бендиксона. Теорема Ляпунова. Гиперболические положения равнове­сия. Функции Ляпунова. Модели Лотка-Вольтерра. Теорема о локальной седловой точке. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Квазилинейные уравнения. Теорема Фробениуса.

12. Топология в Евклидовом пространстве

Основные понятия топологии точечных множеств. Сходимость последовательно­стей. Последовательность Коши. Непрерывные функции. Относительная тополо­гия. Равномерная непрерывность. Поточечная и равномерная сходимость функци­ональных последовательностей. Соответствие. Полунепрерывность снизу и сверху. Инфимум и супремум.

13. Выпуклость

Выпуклое множество. Выпуклая оболочка. Теорема Каратеодори. Экстремальные точки. Теорема Крейна-Мильмана. Теоремы отделимости. Вогнутые и выпуклые функции. Гессиан. Квазивогнутые и квазивыпуклые функции. Окаймленный гес­сиан. Псевдовогнутые и псевдовыпуклые функции.

14. Классическая теория оптимизации

Основные определения. Теорема об экстремальном значении. Стационарная точка. Условия первого порядка. Седловая точка. Результаты для функций одной пере­менной. Точка перегиба. Условия второго порядка. Оптимизация с ограничениями в виде равенств. Метод Лагранжа. Функции наилучшего значения и чувствитель­ность решения задачи. Свойства множителей Лагранжа. Теорема покрытия.

15. Линейное и нелинейное программирование

Основные определения и результаты. Двойственность. Теневые цены. Дополняю­щая нежесткость. Лемма Фаркаша. Теоремы Куна-Таккера. Свойства седловой точки. Квазивогнутое программирование. Свойства функции наилучшего значе­ния. Теорема покрытия. Условия неотрицательности.

16. Вариационное исчисление и теория оптимального управления

Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Условие Лежандра. Достаточные условия. Условия трансверсальности. Функции невязок. Бо­лее сложные вариационные задачи. Теория оптимального управления. Принцип максимума. Достаточные условия. Свойства функции наилучшего значения. Ли­нейная квадратичная задача. Бесконечный интервал. Чистые ограничения состоя­ния. Смешанные и чистые ограничения состояния.

17. Дискретная динамическая оптимизация  

Динамическое программирование. Функция наилучшего значения. Фундаменталь­ное уравнение. Формулировка «со свободным параметром управления». Разностное уравнение Эйлера в векторной форме. Бесконечный интервал. Дискретная теория оптимального управления.

18. Векторы в Rn. Абстрактные пространства

Линейная зависимость и независимость. Подпространства. Базис. Скалярное про­изведение. Норма вектора. Угол между векторами. Векторное пространство. Метри­ческое пространство. Нормированное векторное пространство. Банахово простран­ство. Теорема Асколи. Теорема Шаудера о неподвижной точке. Неподвижные точ­ки сжимающего отображения. Достаточное условие Блэквелла. Пространство с внутренним произведением. Гильбертово пространство. Неравенства Коши-Шварца и Бесселя. Формула Парсеваля.

19. Матрицы

Специальные виды матриц. Действия с матрицами. Обратные матрицы и их свой­ства. След. Ранг. Нормы матриц. Экспоненциальная матрица. Линейные преобра­зования. Обобщенные обратные матрицы. Обратная матрица Мура-Пенроза. Блоч­ные матрицы. Матрицы с комплексными элементами.

20. Определители

Определители 2-го и 3-го порядка. Свойства определителей матрицы порядка п. Алгебраическое дополнение. Определитель Вандермонда и другие частные виды определителей. Миноры. Правило Крамера.

21. Собственные числа. Квадратичные формы

Собственные числа и собственные векторы. Диагонализация. Спектральная тео­рема. Теорема Жордана о разложении. Лемма Шура. Теорема Кэли-Гамильтона. Квадратичные формы. Типы определенности квадратичных форм и соответству­ющих матриц. Совместная диагонализация. Определенность квадратичной формы при линейных ограничениях.

22. Специальные матрицы. Системы Леонтьева 

Свойства идемпотентной матрицы, ортогональной матрицы и матрицы перестано­вок. Неотрицательные матрицы. Корни Фробениуса. Разложимые матрицы. Ма­трицы с доминирующей главной диагональю. Системы Леонтьева.

23. Кронекерово произведение и векторизация матриц

Дифференцирование векторов и матриц  

Определение и свойства кронекерова (тензорного) произведения. Оператор векто­ризации матрицы и его свойства. Дифференцирование векторов и матриц по эле­ментам, векторам и матрицам.

24. Сравнительная статика  

Условия равновесия. Отношения взаимной зависимости. Монотонная сравнитель­ная статика. Полурешетки в      Супермодулярность. Возрастающие различия.

25. Свойства функций затрат и прибыли  

Функция затрат. Условная функция спроса на факторы производства. Лемма Шеп-парда. Функция прибыли. Функции спроса на факторы производства. Функция предложения. Лемма Хотеллинга. Уравнение Пу. Эластичность замены в теории производства. Эластичности замены по Аллену-Узаве и по Моришиме. Функции Кобба-Дугласа и с постоянной эластичностью замены. Закон минимума, функции затрат Дьюверта и транс логарифмическая.

26. Теория поведения потребителя

Отношение предпочтения. Функция полезности. Максимизация полезности. Функ­ция косвенной полезности. Функция спроса потребителя. Равенство Роя. Функции издержек. Функции спроса по Хиксу. Эластичности Курно, Энгеля и Слуцкого. Уравнение Слуцкого. Эквивалентное и компенсирующее изменения. Специальные формы функций — модели с линейными издержками, с почти идеальным спро­сом AIDS и транслогарифмическая функция издержек. Индексы цен. Идеальный индекс Фишера.

27. Сведения из финансов и теории роста

Сложные проценты. Эффективный годовой процент. Текущая стоимость. Внутрен­няя норма доходности. Правило Норстрёма. Непрерывная капитализация процен­тов. Модель роста Солоу. Модель роста Рамсея.

28. Риск и теория несклонности к риску

Абсолютная и относительная несклонность к риску. Премия за риск Эрроу-Пратта. Стохастическое доминирование первой и второй степени. Теорема Адара-Рассела. Теорема Ротшильда-Штиглица.

29. Финансы и стохастический анализ 

Связь доходности и риска финансового актива в модели САРМ. Модель доходности опциона Блэка-Шоулза. Устойчивость. Обобщенная модель Блэка-Шоулза. Парти-тет put-call. Соответствие между американскими опционами put и call. Американ­ский бессрочный опцион put. Стохастический интеграл. Формула Ито. Стохастиче­ская задача оптимального управления. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана.

30. Некооперативная теория игр  

Игра п лиц в стратегической форме. Равновесие по Нэшу. Смешанные стратегии. Строго доминирующие стратегии. Игра двух лиц. Игра с нулевой суммой. Симмет­ричная игра. Свойство седловой точки равновесия по Нэшу. Классический прин­цип минимакса для случая игры двух лиц с нулевой суммой. Эволюционная теория игр.

31. Вероятность и статистика 

Аксиомы вероятностей. Правила вычисления вероятностей. Условная вероятность. Стохастическая независимость. Правило Байеса. Случайные переменные (одномер­ный случай). Функция плотности распределения вероятностей. Функция распре­деления. Математическое ожидание. Среднее значение. Дисперсия. Стандартное отклонение. Центральные моменты. Коэффициенты асимметрии и эксцесса. Нера­венства Чебышева и Иенсена. Производящие функции моментов и характеристиче­ские функции. Случайные переменные (двумерный случай). Ковариация. Неравен­ство Коши-Шварца. Коэффициент корреляции. Предельные и условные плотно­сти. Стохастическая независимость. Условные математическое ожидание и диспер-

сия. Преобразование стохастических переменных. Статистические выводы. Смеще­ние. Среднеквадратичная ошибка. Вероятностные пределы. Состоятельность. Кри­терий проверки гипотез. Мощность статистического критерия. Ошибки I и II типа. Уровень значимости. Критическая вероятность (Р-значение). Закон больших чи­сел. Центральная предельная теорема.

32. Распределения вероятностей. Метод наименьших квадратов

 Распределения бета, биномиальное, бинормальное, х2-, экспоненциальное, экстре­мального значения (Гумбеля), F-, гамма-, геометрическое, гипергеометрическое, Лапласа, логистическое, логарифмически нормальное, полиномиальное, многомер­ное нормальное, отрицательное биномиальное, нормальное, Парето, Пуассона, t-распределение стьюдента, равномерное и Вейбулла. Метод наименьших квадра­тов. Множественная регрессия.

 

Литература

Предметный указатель

Вернуться


Координация материалов. Экономическая школа





Контакты


Институт "Экономическая школа" Национального исследовательского университета - Высшей школы экономики

Директор Иванов Михаил Алексеевич; E-mail: seihse@mail.ru; sei-spb@hse.ru

Издательство Руководитель Бабич Владимир Валентинович; E-mail: publishseihse@mail.ru

Лаборатория Интернет-проектов Руководитель Сторчевой Максим Анатольевич; E-mail: storch@mail.ru

Системный администратор Григорьев Сергей Алексеевич; E-mail: _sag_@mail.ru